latest update 2023/07/26

學習目標：

• Modeling
  the ability to formula the problem as a mathematical expression in terms of variables, functions, equations, and so forth.
  ( cited from Erwin Kreysizg, advanced engineering mathematics)

• 簡諧運動 / Harmonic Oscillation

• 微分方程(組) / Ordinary Differential Equation

• 虎克定律 / Hook's Law

實驗目的：

利用攝影機紀錄運動影像，並以 Tracker 軟體分析耦合振盪實驗的結果。

原理：

耦合振盪的運動，是指兩個原來獨立振盪的系統，在某個外力作用之下，讓彼此的振盪發生關聯並進而互相影響。以下將先以質點與彈簧所構成的系統，先討論單一質點獨立振盪的情形（簡諧振盪），再進一步討論兩個質點的耦合振盪（coupled oscillation）。

A. 簡諧振盪 (simple harmonic oscillation )

圖一

如圖一，根據Newton's 2nd Law可將 的運動方程式描述為。

當時，可以滿足上式的關係。代表在此系統中質點 的運動，是ㄧ個振幅為 、角頻率為 （）的簡諧振盪。

B. 耦合振盪（coupled oscillation）

 圖二

如圖二，耦合振盪系統的運動關係式，可以描述如下之微分方程組：

並假設上式的解為，可推算出角頻率 的關係為

當 時，的兩個解分別為 與 。所對應之振盪模態分別為以及。

兩個質點耦合振盪的運動方程式，則可以表示為

實驗項目：

A. 測量彈簧的彈力係數

• 彈簧彈力係數的測量，請各組自行設計實驗方法以進行測量。
  不論採用哪種實驗方法，請各組必須對實驗中的條件進行改變，並檢視所測得之實驗結果。
  例如改變滑車的質量以觀察振盪頻率的變化，或者改變砝碼的質量以觀測彈簧伸長量的變化等等。

• 然後根據上述的實驗，以表格、數據圖展現所測得之彈力係數。

B. 觀察耦合振盪的模態

• 請將2部滑車的質量，設定為一樣的，同為 。

• 將滑車與彈簧依照圖二架設成耦合振盪的系統。

• 利用不同的初始條件下，觀測耦合震盪如原理最後所述的兩個振盪模態。
  請先成功觀察到兩個振盪模態。即由2部滑車成功觀察到「同相」、「反相」的兩種振盪關係。
  上述兩種振盪，必須分別由適當的「初始條件」開始。

• 在兩種振盪模態下，分別記錄下列數據：
  對應的「初始條件」。
  振盪時，2部滑車隨時間變化的位置關係。
  由影像軟體推算滑車的振盪頻率，並與理論結果 與 作一比較。

參考資料：

• 教學影片 YouTube

• 模擬實驗 Python
  模擬初始條件、摩擦力 ... 等因素對於實驗結果的影響。

• 背景知識 history